Question

3．（1）你能求出（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以思考一下，從簡單的情況入手，分別計算下列各式的值：
（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
…
由此我們可以得到：（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=a¹⁰⁰-1．
（2）利用（1）的結(jié)論，完成下面的計算：
①2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1；
②（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+（-2）⁴⁷+…+（-2）²+（-2）+1．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用平方差公式，多項式乘以多項式法則計算，以此類推得到一般性規(guī)律，即可求出所求式子的值；
（2）利用（1）中計算將原式變形，計算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
…
由此我們可以得到：（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=a¹⁰⁰-1；
故答案為：a²-1；a³-1；a⁴-1；a¹⁰⁰-1；
（2）①原式=（2-1）（2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1）=2²⁰⁰-1；
②原式=-$\frac{1}{3}$×（-2-1）[（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+（-2）⁴⁷+…+（-2）²+（-2）+1]=-$\frac{1}{3}$[（-2）⁵⁰-1]=-$\frac{1}{3}$（2⁵⁰-1）．

點評 此題考查了平方差公式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．