Question

如圖，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的頂點C、D、F分別在邊AO、OB、AB上．
（1）若C、D恰好是邊AO，OB的中點，求矩形CDEF的面積；
（2）若tan∠CDO=，求矩形CDEF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為當(dāng)C、D是邊AO，OB的中點時，點E、F都在邊AB上，且CF⊥AB，所以可求出CD的值，進而求出CF的值，矩形CDEF的面積可求出；
（2）設(shè)CD=x，CF=y．過F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代數(shù)式分別表示出CO、AH的長，進而表示出矩形CDEF的面積，再配方可求出面積的最大值．
解答：解：（1）如圖，當(dāng)C、D是邊AO，OB的中點時，
點E、F都在邊AB上，且CF⊥AB．
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4．
∵∠AOB=90°，
∴．
在 Rt△ACF中，
∵∠A=45°，
∴．
∴．

（2）設(shè)CD=x，CF=y．過F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵，
∴．
∴．
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH=∠CDO．
∴．
∴．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴．
∴AO=AH+HC+CO．
∴．
∴．
易知，
∴當(dāng)x=5時，矩形CDEF面積的最大值為．
點評：本題考查了二次函數(shù)與幾何知識（矩形）的綜合應(yīng)用和求二次函數(shù)的最值，將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．