Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC上一動點，連接DO并延長交AB于點E，得到的△DOC與△EOA相似．

（1）當O點運動到何處時，△DOC與△EOA的相似比為2？
（2）當O點運動到何處時，△DOC與△EOA全等？
（3）當O點運動到何處時E與B重合？此時△DOC與△EOA的相似比是多少？此時O點繼續(xù)往C點運動，DO的延長線于BC交于F，且有△DFC∽△EFB，當點F是BC中點時，求△DOC與△EOA的相似比．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)若△DOC與△EOA的相似比為2，則

CO

AO

=2，即可得出當O點運動到

CO

AO

=2處時，△DOC與△EOA的相似比為2，
（2）若△DOC與△EOA全等，則AO=CO，根據(jù)∠CDO=∠AEO，∠DCO=∠EAO，證出△DOC≌△EOA，即可得出當O點運動到AC的中點處時，△DOC與△EOA全等；
（3）當E與B重合時，△DOC與△EOA全等，AO=CO，當O點運動到AC的中點處時，E與B重合，此時△DOC與△EOA的相似比是1，當點F是BC中點時，則BF=CF，再根據(jù)∠CDF=∠BEF，∠DCF=∠EBF，證出△DOC≌△EOA從而得出AB=DC=BE，最后求出

DC

AE

=

1

2

，即可得出△DOC與△EOA的相似比．

解答：解：（1）∵若△DOC與△EOA的相似比為2，則

CO

AO

=2，
∴當O點運動到

CO

AO

=2處時，△DOC與△EOA的相似比為2；
（2）若△DOC與△EOA全等，則AO=CO，
∵AB∥CD，
∴∠CDO=∠AEO，∠DCO=∠EAO，
在△DOC與△EOA中，

∠CDO=∠AEO ∠DCO=∠EAO AO=CO

∴△DOC≌△EOA，
∴當O點運動到AC的中點處時，△DOC與△EOA全等；
（3）∵當E與B重合時，△DOC與△EOA全等，
∴AO=CO，
∴當O點運動到AC的中點處時，E與B重合，
此時△DOC與△EOA的相似比是1，
當點F是BC中點時，則BF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠BEF，∠DCF=∠EBF，
在△DOC和△EOA中

∠CDF=∠BEF ∠DCF=∠EBF BF=CF

，
∴△DOC≌△EOA，
∴DC=BE，
∴AB=DC=BE，
∴

DC

AE

=

1

2

，
∴△DOC與△EOA的相似比=

DC

AE

=

1

2

．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，關鍵是綜合運用有關性質(zhì)求出對應線段的比．