精英家教網(wǎng)如圖，A為圓O上半圓上的一個三等分點，B是AM的中點，P為直徑MN上的一動點，圓O的半徑為1，
求AP+BP的最小值．
分析：找點A或點B關(guān)于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠CAE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．
解答：精英家教網(wǎng)解：作點B關(guān)于MN的對稱點E，連接AE交MN于點P
此時PA+PB最小，且等于AE．
作直徑AC，連接CE．
根據(jù)垂徑定理得弧BM=弧ME．
∵A是半圓的三等分點，
∴∠AOM=60°，∠MOE=
1
2
∠AOM=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又AC為圓的直徑，∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=
2
2
AC=
2
，
即AP+BP的最小值是
2
．
點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，此題的難點是確定點P的位置：找點B關(guān)于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和AE于MN的交點P就是所求作的位置．再根據(jù)弧的度數(shù)和圓心角的度數(shù)求出∠CAE，根據(jù)勾股定理求出AE即可．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)學的學習中，我們要學會總結(jié)，不斷地歸納，思考和運用，這樣才能提高我們解決問題的能力，下面這個問題大家一定似曾相識：
（1）比較大小：
①2+1
 
2
2×1
；  ②3+
1
3
 
2
3×
1
3
③8+8
 
2
8×8

通過上面三個計算，我們可以初步對任意的非負實數(shù)a，b做出猜想a+b
 
2
ab
；
（2）學習了《二次根式》后我們可以對此猜想進行代數(shù)證明，請欣賞：
對于任意非負實數(shù)a，b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有當a=b時，等號成立．
（3）學習《圓》后，我們可以對這個結(jié)論進行幾何驗證：
如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上的任意一點，（與A、B不重合）過點C作CD⊥AB，垂足為D，AD=a，DB=b．
根據(jù)圖形證明：a+b≥2
ab
，并指出等號成立時的條件．
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（4）驀然回首，我們發(fā)現(xiàn)在上學期的《梯形的中位線》一節(jié)遇到的一個問題，此時運用這個結(jié)論解決是那樣的簡單：
如圖有一個等腰梯形工件（厚度不計），其面積為1800cm2，現(xiàn)在要用細包裝帶如圖那樣包扎（四點為四邊中點），則至少需要包裝帶的長度為
 
cm．
（注意：包扎時背面也有帶子，打結(jié)處長度忽略不計）
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科目：初中數(shù)學 來源：中考加速卷　　數(shù)學 題型：013

如圖，B為線段AC上一點，分別以AC，BC為直徑作半圓，大圓的弦PC交小圓于Q，已知∠PCA＝α，PQ＝1，則AB長為

[　　]

A．cosα
B．sinα
C．
D．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，A為圓O上半圓上的一個三等分點，B是AM的中點，P為直徑MN上的一動點，圓O的半徑為1，
求AP+BP的最小值．

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科目：初中數(shù)學 來源：2010年福建省龍巖市長汀縣河田二中保送生數(shù)學模擬試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，A為圓O上半圓上的一個三等分點，B是AM的中點，P為直徑MN上的一動點，圓O的半徑為1，
求AP+BP的最小值．

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