Question

如圖1，在x軸上，有兩點(diǎn)A（m，0），B（n，0）（0＜m＜n），分別過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線y=-x²于點(diǎn)C，點(diǎn)D，直線OC交直線BD于點(diǎn)E，直線CD交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)分別記為y_E、y_F．
（1）①當(dāng)m=1，n=2時(shí)，

AC

BE

=

 

，y_E=

 

，y_F=

 

．
②當(dāng)m=2，n=5時(shí)，y_E=

 

，y_F=

 

．
（2）根據(jù)問題（1）猜想y_E和y_F的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）若把原題中《拋物線y=-x²》改為《拋物線y=ax²（a＜0》，其他條件不變，則y_E=

 

，y_F=

 

．
（4）連接EF、OD（圖2），當(dāng)四邊形FODE為平行四邊形時(shí)，直接寫出

S△OCA

S△OCD

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：已知A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線OC、CD的解析式，也就能得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行比較即可．由四邊形FODE為平行四邊形，得出OC=CE，OF=DEOA=AB=

1

2

OB，根據(jù)三角形面積公式求得S_△OCA=

1

4

S_△OBE，S_△OCD=

1

2

S_△ODE，從而求得結(jié)果．

解答：
解：（1）①當(dāng)m=1，n=2時(shí)，A（1，0）、B（2，0）、C（1，-1）、D（2，-4）；
則：OA=1，OB=2，
直線OC：y=-x；
直線CD：y=-3x+2；
∴

AC

BE

=

OA

OB

=

1

2

，
F（0，2）、E（2，-2）；
即：-y_E=y_F=2．
②同理：當(dāng)m=3，n=5時(shí)，-y_E=y_F=10．
故答案為：

1

2

，-2，2，-10，10；

（2）證明：點(diǎn)A（m，0），B（n，0）（0＜m＜n），AC⊥x軸，BD⊥x軸，
點(diǎn)C、D在拋物線y=-x²上，
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²，當(dāng)x=n時(shí)，y=-n²，
∴C（m，-m²）、D（n，-n²）；
設(shè)直線OC的解析式：y=kx，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)：
km=-m²，k=-m
即：直線OC：y=-mx；
同理：直線CD：y=-（m+n）x+mn．
∴E（n，-mn）、F（0，mn）
即y_E=-y_F．

（3）證明：點(diǎn)A（m，0），B（n，0）（0＜m＜n），AC⊥x軸，BD⊥x軸，
點(diǎn)C、D在拋物線y=ax²上，
當(dāng)x=m時(shí)，y=am²，
當(dāng)x=n時(shí)，y=an²，
∴C（m，am²）、D（n，an²）；
設(shè)直線OC的解析式：y=kx，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)：
km=am²，k=am
即：直線OC：y=amx；
同理：直線CD：y=-a（m+n）x+amn．
∴E（n，amn）、F（0，-amn）
即y_E=amn，y_F=-amn．
故答案為：amn，-amn．

（4）解：∵四邊形FODE為平行四邊形，
∴OC=CE，OF=DE；
∵AC∥BD，
∴OA=AB=

1

2

OB，AC=

1

2

BE，
∴S_△OCA=

1

4

S_△OBE，
∵OF=DE，OF=BE；
∴S_△OEB=S_△ODE；
∵S_△OCD=

1

2

S_△ODE；
∴

S△OCA

S△OCD

=

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查的是函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法、四邊形的判定等知識，綜合性較強(qiáng)，由淺入深的引導(dǎo)方式進(jìn)一步降低了題目的難度，對于基礎(chǔ)知識的掌握是解題的關(guān)鍵．