Question

【題目】已知拋物線經過點E（1，0）和F（5，0），并交y軸于D（0，-5）；拋物線：（a≠0），

（1）試求拋物線的函數解析式；

（2）求證： 拋物線 與x軸一定有兩個不同的交點；

（3）若a=1

①拋物線、頂點分別為 （ ， ）、（ ， ） ；當x的取值范圍是_________ 時，拋物線、 上的點的縱坐標同時隨橫坐標增大而增大；

②已知直線MN分別與x軸、、分別交于點P（m，0）、M、N，且MN∥y軸，當1≤m≤5時，求線段MN的最大值。

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）8

【解析】試題分析：

試題解析：

（1）設的解析式為y=a（x-1）（x-5），

當x=0，y=-5，

∴-5=a（-1）×（-5），∴a=-1，

∴=。

（2）△====＞0，

∴拋物線與x軸一定有兩個不同的交點。

（3）當a=1時，①、的頂點分別為（3，4）、（2，-1），當2≤x≤3時，拋物線、 上的點的縱坐標同時隨橫坐標增大而增大;

② 的頂點為（2，-1），對稱軸為x=2，與x軸的交點為（3，0），（1，0），與的交點為（1，0），（4，3），

當1≤m≤4時，

MN====-2+。

當x=時，MN最大；

當4＜m≤5時，MN==，

∵MN=有最小值，但在對稱軸右邊MN隨x增大而增大，

當m=5時，MN最大=225-50+8=8。

綜合上述MN最大值為8