Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且∠PAE=∠E，PE交CD于點(diǎn)F．

（1）求證：PC=PE；

（2）求∠CPE的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）90°

【解析】

（1）先證出△ADP≌△CDP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；
（2）由△ADP≌△CDP，得∠DAP＝∠DCP，由∠DAP＝∠E，得∠DCP＝∠E，最后∠CPE＝∠EDF＝90°得到結(jié)論．

（1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADP=∠CDP=45°

在△ADP和△CDP中

∴△ADP≌△CDP（SAS）

∴PA=PC

∵∠PAE=∠E

∴PA=PE

∴PC=PE

（2）解： 在正方形ABCD中，∠ADC=90°

∴∠EDF=90°

由（1）知，△ADP≌△CDP

∴∠DAP=∠DCP

∵∠DAP=∠E

∴∠DCP=∠E

∵∠CFP=∠EFD（對(duì)頂角相等）

∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E

即∠CPE=∠EDF=90°