Question

如圖，已知正方形的邊長為1，若將邊BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在AB的延長線的C′處，連結(jié)C′D，設(shè)∠ABD=α，那么sinα+sinβ等于（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  2

  +

  5

• C．

  2 + 5

  10

• D．

  5 2 +2 5

  10

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ABD=45°，然后求出sinα，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出BC′=BC=1，然后求出AC′，利用勾股定理列式求出C′D，再求出sinβ，然后相加即可得解．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴α=∠ABD=45°，
∴sinα=

2

2

，
∵邊BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在AB的延長線的C′處，
∴BC′=BC=1，
∴AC′=AB+BC′=1+1=2，
∴C′D=

22+12

=

5

，
∴sinβ=

AD

C′D

=

1

5

=

5

5

，
∴sinα+sinβ=

2

2

+

5

5

=

5 2 +2 5

10

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，比較簡單，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．