Question

AD，BE，CF是△ABC的三條中線，P是任意一點．證明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和．

Answer 1

分析：設G為△ABC重心，直線PG與AB，BC相交．從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A′，C′，D′，E′，F(xiàn)′．易證AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，則EE′=DD′+FF′．有S_△PGE=S_△PGD+S_△PGF．兩邊各擴大3倍，即可得證．

解答：解：：設G為△ABC重心，直線PG與AB，BC相交．從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A′，C′，D′，E′，F(xiàn)′．

∵AA'⊥PG，DD'⊥PG，
∴AA′∥D′，
∴△AA′G∽△DD′G，
∵AG=2GD，
∴AA′=2DD′，
同理，CC′=2FF′，
∵在梯形AA′C′C中，2EE′=AA′+CC′，
∴EE′=DD′+FF′，
∴S_△PGE=S_△PGD+S_△PGF，
兩邊各擴大3倍，有S_△PBE=S_△PAD+S_△PCF．

點評：此題綜合考查了重心的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、梯形的中位線等知識點，難度較大．