Question

3．如圖所示，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)D是半圓弧的中點(diǎn)，半徑OC∥BD，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）判斷CE與半圓OD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若BD=4，求陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出CO⊥EC，即可得出答案；
（2）利用已知得出△ADB為等腰直角三角形，進(jìn)而得出△ECO為等腰直角三角形，由S_陰影部分=S_△ECD-S_扇形AOC求出答案．

解答 解：（1）CE與半圓OD相切，
理由：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥DB，
∵CO∥DB，
∴CO⊥AD，
∵EC∥AD，
∴CO⊥EC，
∴CE與半圓OD相切；

（2）∵點(diǎn)D平分半圓弧，
∴∠B=45°，
∴△ADB為等腰直角三角形，
∵BD=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴CO=2$\sqrt{2}$，
∵CO∥DB，
∴∠AOC=∠ABD=45°，
由（1）知CO⊥EC，
∴△ECO為等腰直角三角形，
∴S_陰影部分=S_△ECD-S_扇形AOC=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$）²-$\frac{45}{360}$π（2$\sqrt{2}$）²=4-π．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)、扇形面積求法等知識(shí)，正確得出△ECO為等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．