Question

（2012•鼓樓區(qū)一模）（1）6位新同學(xué)參加夏令營，大家彼此握手，互相介紹自己，這6位同學(xué)共握手多少次？小莉是這樣思考的：每一位同學(xué)要與其他5位同學(xué)握手5次，6位同學(xué)握手5×6=30次，但每兩位同學(xué)握手2次，因此這6位同學(xué)共握手 

5×6

2

=15次．依此類推，12位同學(xué)彼此握手，共握手

66

次．
（2）我們經(jīng)常會(huì)遇到與上面類似的問題，如：2條直線相交，最多只有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；…；求20條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？
（3）在上述問題中，分別把人、線看成是研究對象，兩人握手、兩線相交是研究對象間的一種關(guān)系，要求的握手總次數(shù)、最多交點(diǎn)數(shù)就是求所有對象間的不同關(guān)系總數(shù)．它們都是滿足一種相同的模型．請結(jié)合你學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，編制一個(gè)符合上述模型的問題．
（4）請運(yùn)用解決上述問題的思想方法，探究n邊形共有多少條對角線？寫出你的探究過程及結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)總結(jié)的公式代入12即可求得結(jié)果；
（2）將握手問題推廣至直線交點(diǎn)問題即可得到相同的運(yùn)算公式；
（3）將以上問題推廣至單循環(huán)比賽中即可得到答案；
（4）首先得到從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線的條數(shù)然后乘以頂點(diǎn)個(gè)數(shù)除以2即可．

解答：解：（1）

12×11

2

=66．…（1分）
（2）每一條直線最多與其它19條直線相交，20條直線交點(diǎn)20×19=380個(gè)，但每兩條直線相交2次，因此這20條直線相交，最多有

20×19

2

=190個(gè)交點(diǎn)．…（4分）
（3）答案不唯一，如：現(xiàn)有12個(gè)乒乓球隊(duì)參加乒乓球循環(huán)賽（每個(gè)隊(duì)都要與其他隊(duì)比賽1場），共需比賽多少場？…（7分）
（4）n邊形每一個(gè)頂點(diǎn)與其它不相鄰的（n-3）個(gè)頂點(diǎn)連成對角線，共有n（n-3）條對角線，但每兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)相連2次，因此n邊形共有

n(n-3)

2

）（n＞3）條對角線．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查了規(guī)律型問題，可以將以上問題總結(jié)為握手問題，解題的關(guān)鍵是找到問題的通項(xiàng)公式．