Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為A（，0），矩形BCOG的頂點B、C坐標(biāo)為，C（0，3），連接AB．動點D以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)沿CO向終點O運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB向終點B運動，過點D作DF∥AB，交BC于點F，連接AD、DE、EF，設(shè)運動時間為t秒．
（1）用t的代數(shù)式表示線段BE、DF的長．
（2）求證四邊形ADFE為平行四邊形，并探索在整個運動過程中，是否存在t使四邊形ADFE為菱形？若存在，請求出t的值，若不存在請說明理由．
（3）探索當(dāng)t為何值時，△BEF與以D，E，F(xiàn)為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)四邊形BCOG是矩形，A（，0），B（4，2）求出AG、BG及AB的長，由平行線的性質(zhì)求出∠CFD=∠CBA=30°，再由直角三角形的性質(zhì)得出DF的長，再由動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB向點B運動即可求出BE的長；
（2）先由DF∥AB，DF=AE=2t，可得出四邊形ADEF是平行四邊形，若平行四邊形ADEF是菱形，則DF=AD，在Rt△AOD中，利用勾股定理可得出AD²=OD²+OA²，進(jìn)而可得出t的值；
（3）由DF∥AB，可得出∠BEF=∠DFE，由于兩相似三角形的對應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠BFE=∠DEF時，則△BEF∽△DFE，此時DE∥BC，即四邊形DEBF是平行四邊形，DF=BE，由此可得出t的值；
②當(dāng)∠BFE=∠FDE時，則△BEF∽△EFD，由相似三角形的性質(zhì)可得=，即EF²=DF×BE，由四邊形ADFE是平行四邊形，即EF=AD，在△AOD中利用勾股定理即可求出t的值．
解答：（1）解：∵四邊形BCOG是矩形，A（，0），B（4，3），
∴AG=4-=3，BG=3，
∴AB===6，
∴∠BAG=30°，
∵BC∥OG，
∴∠CBA=∠BAG=30°，
∵DF∥AB，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
∵△CDF是直角三角形，
∴DF=2CD=2t，
∵動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB向點B運動，
∴AE=2t，
∴BE=6-2t；

（2）證明：∵DF∥AB，DF=AE=2t，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
若平行四邊形ADEF是菱形，則DF=AD，
在Rt△AOD中，AD²=OD²+OA²，即（2t）²=（3-t）²+（）²，
解得t=±-1（負(fù)值舍去），
∴t=-1；

（3）解：∵DF∥AB，
∴∠BEF=∠DFE．
分兩種情況：
①當(dāng)∠BFE=∠DEF時，則△BEF∽△DFE，此時DE∥BC，即四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DF=BE，而DF=2t，BE=6-2t，
∴2t=6-2t，解得t=；
②當(dāng)∠BFE=∠FDE時，則△BEF∽△EFD，
∴=，即EF²=DF×BE，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，即EF=AD，
∴AD²=OD²+OA²，
∴（3-t）²+（）²=2t×（6-2t），解得t=
綜上所述，t=或t=．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，在解答（3）時要注意分類討論，不要漏解．