Question

11．如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200米，C為水源地，AC=160m，BC=120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．
甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；
乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．
（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；
（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：
∴AC²+BC²=160²+120²=40000，AB²=200²=40000，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{160×120}{200}$=96（m），
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{16{0}^{2}-9{6}^{2}}$=128（m），
∴BH=AB-AH=72m，
∵AC+BC=160m+120m=280m，CH+AH+BH=96m+200m=296m，
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠較短．

點評 本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．