Question

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE．連接BF、AC．

（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；

（2）如果DE2＝BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對(duì)邊平行且相等判定平行四邊形；

（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對(duì)應(yīng)角相等，從而得到直角來(lái)證明有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．

試題解析: （1）連接BD

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD

∴AC=BD

∵DE⊥BC，EF=DE

∴BD=BF，CD=CF

∴AC=BF，AB=CF

∴四邊形ABCF是平行四邊形；

（2）∵DE2=BE•CE

∴，

∵∠DEB=∠DEC=90°，

∴△BDE∽△DEC，

∴∠CDE=∠DBE，

∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，

∴四邊形ABFC是矩形．

考點(diǎn): 1.等腰梯形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.平行四邊形的判定與性質(zhì)；4.相似三角形的判定與性質(zhì)．