Question

如圖，射線AM平行于射線BN，AB⊥BN且AB=3，C是射線BN上的一個動點，連接AC，作CD⊥AC且CD=AC，過C作CE⊥BN交AD于點E，設(shè)BC長為t．
（1）AC長為________，△ACD的面積為________（用含有t的代數(shù)式表示）；
（2）求點D到射線BN的距離（用含有t的代數(shù)式表示）；
（3）是否存在點C，使△ACE為等腰三角形？若存在，請求出此時BC的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥BN，
∴∠B=90°，
∵AB=3，BC長為t，
∴AC==；
∵CD=AC=，
∵CD⊥AC，
∴∠AD=90°，
∴△ACD的面積為：AC•CD=××=；

（2）過D作DF⊥BN交BN于點F，
∵∠ABC=∠CFD=90°，∠FDC=∠ACB，
∴△DFC∽△CBA．
∴==，
∴DF=，BC=t．
即點D到射線BN的距離為；

（3）①如圖，當EC=AE時，E為AD中點，EC=AD，
此時FC=BC，
∴t=；
②如圖，∵EC⊥BN，
∴AE≠AC，
③當t=0時，C與B重合，CD=AC，
可得DF=t=0，此時△AEC不能為等腰直角三角形，
當t=12時，CE≤DF＜DC＜AC，
∴當0≤t＜12時，∠AEC為鈍角，故AC≠CE，△ACE不能為等腰三角形；
當t≥12時，CE≤DF＜DC＜AC，此時△ACE不能為等腰三角形，
綜上所述，當BC等于時，△ACE為等腰三角形．
分析：（1）由AB⊥BN且AB=3，BC長為t，根據(jù)勾股定理的知識，即可求得AC的長，由作CD⊥AC且CD=AC，根據(jù)三角形面的求解方法即可求得△ACD的面積；
（2）過D作DF⊥BN交BN于點F，由∠ABC=∠CFD=90°，∠FDC=∠ACB，即可得△DFC∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得點D到射線BN的距離；
（3）分別從①當EC=AE時，E為AD中點，EC=AD，②當AE=AC時，AM⊥DF，③當0≤t＜12時，∠AEC為鈍角，故AC≠CE，當t≥12時，CE≤DF＜DC＜AC去分析求解，即可得到當BC等于和6+3時，△ACE為等腰三角形．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識．解此題的關(guān)鍵是注意分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．