Question

如圖，直線AC∥BD，直線AB分別與它們相交于A，B，三條直線把平面分成①②③④⑤⑥六個部分（每個部分不包括邊界）．當(dāng)動點(diǎn)P落在某個部分時，連結(jié)PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．
（1）當(dāng)動點(diǎn)P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當(dāng)動點(diǎn)P落在第②部分時，∠PAC，∠APB，∠PBD三者之間的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（3）當(dāng)動點(diǎn)P落在第③部分時，∠PAC，∠APB，∠PBD三者之間的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（4）當(dāng)動點(diǎn)P落在第④部分時，∠PAC，∠APB，∠PBD三者之間的數(shù)量關(guān)系是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）過點(diǎn)P作AC的平行線，交AB于點(diǎn)E，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)、傳遞性和等式的基本性質(zhì)即可證明；
（2）過點(diǎn)P作EF∥AC，如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)、傳遞性和等式的基本性質(zhì)可得出∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；
（3）如圖3，根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)可得出∠PAC=∠APB+∠PBD；
（4）如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)可得出∠PAC+∠APB=∠PBD．

解答：（1）證明：過點(diǎn)P作AC的平行線，交AB于點(diǎn)E，如圖1．
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠EPB，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠PAC+∠PBD；

（2）解：∠APB+∠PAC+∠PBD=360°．理由如下：
過點(diǎn)P作EF∥AC，如圖2，
因?yàn)锳C∥BD，
所以EF∥BD，
所以∠BPF+∠PBD=180°．
同理∠APF+∠PAC=180°，
因此∠APF+∠BPF+∠PAC+∠PBD=360°，
即∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；

（3）解：∠PAC=∠APB+∠PBD．理由如下：
如圖3，∵AC∥BD，
∴∠PBD=∠PQC．
∵∠PAC=∠APB+∠PQC，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD；

（4）解：∠PAC+∠APB=∠PBD．
如圖4，∵AC∥BD，
∴∠PBD=∠PQC．
∵∠PAC+∠APB=∠PQC，
∴∠PAC+∠APB=∠PBD．
故答案為（2）∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；
（3）∠PAC=∠PBD+∠APB；
（4）∠PAC=∠PBD+∠APB．

點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)知識比較簡單．