Question

14．如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以lcm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)．
（1）幾秒鐘后△PBQ的面積等于8cm²．
（2）△PBQ的面積可能等于10cm²嗎？為什么？
（3）幾秒后△PBQ與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）分別表示出線段PB和線段BQ的長，然后根據(jù)面積為8列出方程求得時間即可；
（2）根據(jù)面積為8列出方程，判定方程是否有解即可．
（3）分兩種情況討論，利用相似三角形對應邊的比相等列出方程求解即可．

解答 解：（1）設t秒后，△PBQ的面積等于8cm²，
根據(jù)題意得：$\frac{1}{2}$×2t（6-t）=8，
解得：t=2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面積等于8cm²．
（2）不能，理由如下：
由題意得：$\frac{1}{2}$×2t（6-t）=10，
整理得：t²-6t+10=0，
b²-4ac=36-40=-4＜0，
此方程無解，
所以△PBQ的面積不能等于10cm²．
（3）分兩種情況：
①當△ABC∽△PBQ時，$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
即$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$，
解得：t=3；
②當△ABC∽△QBP時，$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
即$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=1.2；
綜上所述：1.2秒或3秒時，△PBQ與△ABC相似．

點評 本題考查了一元二次方程的應用、相似三角形的判定、三角形的面積；熟練掌握一元二次方程的應用和相似三角形的判定，進行分類討論是解決問題（3）的關鍵．