Question

【題目】邊長為6的等邊△ABC中，點D、E分別在AC、BC邊上，DE∥AB，EC=2

（1）如圖1，將△DEC沿射線方向平移，得到△D′E′C′，邊D′E′與AC的交點為M，邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點N，當(dāng)CC′多大時，四邊形MCND′為菱形？并說明理由．
（2）如圖2，將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，連接AD′、BE′．邊D′E′的中點為P．

①在旋轉(zhuǎn)過程中，AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②連接AP，當(dāng)AP最大時，求AD′的值．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)CC'= 時，四邊形MCND'是菱形．

理由：由平移的性質(zhì)得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°，

∵CN是∠ACC'的角平分線，

∴∠D'E'C'= ∠ACC'=60°=∠B，

∴∠D'E'C'=∠NCC'，

∴D'E'∥CN，

∴四邊形MCND'是平行四邊形，

∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，

∴△MCE'和△NCC'是等邊三角形，

∴MC=CE'，NC=CC'，

∵E'C'=2 ，

∵四邊形MCND'是菱形，

∴CN=CM，

∴CC'= E'C'=

（2）

解：①AD'=BE'，

理由：當(dāng)α≠180°時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠ACD'=∠BCE'，

由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，

∴△ACD'≌△BCE'，

∴AD'=BE'，

當(dāng)α=180°時，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，

即：AD'=BE'，

綜上可知：AD'=BE'．

②如圖連接CP，

在△ACP中，由三角形三邊關(guān)系得，AP＜AC+CP，

∴當(dāng)點A，C，P三點共線時，AP最大，

如圖1，在△D'CE'中，由P為D'E的中點，得AP⊥D'E'，PD'= ，

∴CP=3，

∴AP=6+3=9，

在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'= =2 ．

【解析】（1）先判斷出四邊形MCND'為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出CN=CM，即可求出CC'；（2）①分兩種情況，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可判斷出△ACD≌△BCE'即可得出結(jié)論；
②先判斷出點A，C，P三點共線，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)．