Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上．

（1）b= ， c= ， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（直接填寫(xiě)結(jié)果）
（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）-2；-3；（﹣1，0）
（2）

解：存在．

理由：如圖所示：

①當(dāng)∠ACP1=90°．

由（1）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)AC的解析式為y=kx﹣3．

∵將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得3k﹣3=0，解得k=1，

∴直線AC的解析式為y=x﹣3．

∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3．

∵將y=﹣x﹣3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得x1=1，x2=0（舍去），

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

②當(dāng)∠P2AC=90°時(shí)．

設(shè)AP2的解析式為y=﹣x+b．

∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3．

∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3．

∵將y=﹣x+3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得x1=﹣2，x2=3（舍去），

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣2，5）．

綜上所述，P的坐標(biāo)是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）

解：如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC=OA=3，OD⊥AC，

∴D是AC的中點(diǎn)．

又∵DF∥OC，

∴ ．

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是 ．

∴ ，解得： ．

∴當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（ ， ）或（ ， ）．

【解析】解：（1）∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=﹣3．
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．
故答案為：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．
（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）分別過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)A作AC的垂線，將拋物線與P1 ， P2兩點(diǎn)先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）連接OD．先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據(jù)垂線段最短可求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后由拋物線的解析式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．