Question

17．如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC形狀：等邊三角形；
（2）求證：PA+PB=PC．
小佳想：證一條線段等于另外兩條線段的和，常用“截長或補短法”，第（2）小題可以考慮在PC上截取PD=PA，則△PAD為等邊三角形，然后利用三角形全等證明PB=DC．請很據(jù)小佳的思路寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得．

解答 證明：（1）△ABC是等邊三角形．
證明如下：在⊙O中，
∵∠BAC與∠CPB是$\widehat{BC}$對的圓周角，∠ABC與∠APC是$\widehat{AC}$所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；
故答案為：△ABC是等邊三角形；

（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠ADC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．

點評 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形全等的判定與性質，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關鍵．