Question

如圖所示，一位同學拿了兩塊45°的三角尺△MNK、△ACB做了一個探究活動；將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC=BC=a．
猜想此時重疊部分四邊形CEMF的面積為

 

；
簡述證明主要思路．

Answer 1

分析：連CM，由點M為等腰直角△ABC的斜邊AB的中點，根據(jù)等腰直角三角形和直角三角形斜邊的中線的性質得到CM=MB=MA，∠A=∠ACM=∠MCB=45°，∠CMA=90°，利用等角的余角相等得到∠AMF=∠EMC，根據(jù)“SAS”可得△AFM≌△CEM，則S_△AFM=S_△CEM，于是重疊部分四邊形CEMF的面積=S_△ACM=

1

2

S_△ACB，然后利用三角形的面積公式計算即可．

解答：解：重疊部分四邊形CEMF的面積為

1

4

a²．證明如下：
連CM，如圖，
∵點M為等腰直角△ABC的斜邊AB的中點，
∴CM=MB=MA，
∴∠A=∠ACM=∠MCB=45°，∠CMA=90°，
又∵△MNK為直角三角形，
∴∠EMF=90°，
∴∠AMF=∠EMC=90°-∠CMF，
在△AFM和△CEM中，

∠A=∠MCE AM=CM ∠AMF=∠CME

∴△AFM≌△CEM，
∴S_△AFM=S_△CEM，
∴重疊部分四邊形CEMF的面積=S_△ACM=

1

2

S_△ACB=

1

2

×

1

2

×a×a=

1

4

a²．
故答案為：

1

4

a²．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”；全等三角形的對應邊相等，對應角相等．也考查了等腰直角三角形和直角三角形斜邊的中線的性質．