Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（0，3）為圓心的⊙A與x的負(fù)半軸交于點(diǎn)B（-4，0），與x的正半軸交于點(diǎn)C，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D．
（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C、D的二次函數(shù)的解析式；
（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得∠PCD被x軸平分？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)垂徑定理可知，CO=OB=4，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；利用勾股定理可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知或已求出B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出一般式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）先假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，根據(jù)“存在點(diǎn)P，使得∠PCD被x軸平分”通過(guò)計(jì)算找到這個(gè)點(diǎn)，即可說(shuō)明其存在．
解答：解：（1）利用垂徑定理可得C（4，0），（2分）
利用勾股定理可求出半徑為5，從而可得D（0，-2）（2分）

（2）把點(diǎn)B（-4，0）、C（4，0）、D（0，-2）代入解析式得，，
解得a=-，b=0，c=-2．
二次函數(shù)的解析式為y=x²-2．（3分）．

（3）假定在x軸上方的拋物線上，存在點(diǎn)P，使得∠PCD被x軸平分．
由于∠OCD是銳角，
所以∠PCO也是銳角．
設(shè)PC與y軸的正半軸交于點(diǎn)E．則由對(duì)稱性可得E（0，2），
設(shè)直線EC的解析式為y=-x+2
解方程組
得或．
即直線EC與拋物線的交點(diǎn)為C（4，0）和P（-8，6）．
所以在x軸上方的拋物線上，存在點(diǎn)P，使得∠PCD被x軸平分．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-8，6）．（3分）
（注：也可過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PM，利用：△PCM∽△DOC，找到P的橫縱坐標(biāo)關(guān)系代入y=-x+2求解．）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解的關(guān)系，（3）是結(jié)論開(kāi)放性題目，需要進(jìn)行探索．