Question

10．市政廣場前有塊形狀為直角三角形的綠地（如圖所示），其中AC=8m，BC=6m．為廣場整體布局考慮，現(xiàn)在將原綠地擴充成等腰三角形，且擴充所增加的部分要求是以AC為直角邊的直角三角形．請求出擴充建設后所得等腰三角形綠地的周長．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，分AB=AD，AB=BD，AD=BD三種情況進行討論即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
根據(jù)勾股定理得：$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10本題可分為三種情況，討論如下：
（1）如圖1，當AB=AD=10時，

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：
CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
∴△ABD的周長=10+10+6×2=32m；
（2）如圖2，當AB=BD=10時，

∵BC=6，
∴CD=BD-BC=10-6=4，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：
∴△ABD的周長=10+10+4$\sqrt{5}$=（20+4$\sqrt{5}$）m，
（3）如圖3，

當AB為底，AD=BD時，設AD=BD=x，則CD=x-6，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：
AC²+CD²=AD²，
即8²+（x-6）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{3}$，
∴△ABD的周長=10+$\frac{25}{3}$×2=$\frac{80}{3}$m，
∴擴充后的綠地的周長為：32m或（20+4$\sqrt{5}$）m或$\frac{80}{3}$m．

點評 本題考查的是勾股定理的應用，熟知在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用是解答此題的關鍵．