Question

如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠B=36°，對角線BD、AC相交于點O，∠BAC的平分線AE交BC邊于點E．試解答下列幾個問題：
（1）不用計算器求：①AE長度的準確值，②∠ABO正弦的準確值；
（2）在對角線BD上取一點M．求BM＜AB的概率（如果計算的概率值為無理數(shù)，則將計算結(jié)果精確到百分位）

Answer 1

【答案】分析：（1）①用三角形相似時的性質(zhì)計算AE的長度，②根據(jù)求出的AE長度和菱形對角線的性質(zhì)求出∠ABO正弦的準確值；
（2）BM＜AB的概率為，根據(jù)（1）的答案可以容易求解．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=1，
又∵∠EAC=∠BAC=36°，∠AEC=∠ACE=72°
∴AE=AC．
設(shè)AE=AC=x，則AE=BE=x，△ABC∽△EAC
∴=即=
整理得：x²-x-1=0
解得x₁=x₂=-（不合題意舍去）

（2）∵AE=AC，∴AC=
又∵BO⊥AC  AB=CB
∴AO=AC=
∴sin∠ABO=

（3）設(shè)在對角線BD上取一點M，得BM＜AB這一事件的概率為P（BM＜AB）．
在BD上截取BM′=AB．于是P（BM＜AB）=P（BM＜BM′）=≈0.53．
點評：本題綜合考查了圖形的性質(zhì)和概率的轉(zhuǎn)化計算問題，相對比較難的題目．