(2013•大豐市一模)在如圖的直角坐標(biāo)系中,已知點A(1,0);B(0,-2),將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=-
12
x2+ax+2經(jīng)過點C.
①求拋物線的解析式;
②在拋物線上是否存在點P(點C除外)使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求出所有點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)過點C作CD垂直于x軸,由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得到AB=AC,且∠BAC為直角,可得∠OAB與∠CAD互余,由∠AOB為直角,可得∠OAB與∠ABO互余,根據(jù)同角的余角相等可得一對角相等,再加上一對直角相等,利用ASA可證明三角形ACD與三角形AOB全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AD=OB,CD=OA,由A和B的坐標(biāo)及位置特點求出OA及OB的長,可得出OD及CD的長,根據(jù)C在第四象限得出C的坐標(biāo);
(2)①由已知的拋物線經(jīng)過點C,把第一問求出C的坐標(biāo)代入拋物線解析式,列出關(guān)于a的方程,求出方程的解得到a的值,確定出拋物線的解析式;
②假設(shè)存在點P使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形,分三種情況考慮:(i)A為直角頂點,過A作AP1垂直于AB,且AP1=AB,過P1作P1M垂直于x軸,如圖所示,根據(jù)一對對頂角相等,一對直角相等,AB=AP1,利用AAS可證明三角形AP1M與三角形ACD全等,得出AP1與P1M的長,再由P1為第二象限的點,得出此時P1的坐標(biāo),代入拋物線解析式中檢驗滿足;(ii)當(dāng)B為直角頂點,過B作BP2垂直于BA,且BP2=BA,過P2作P2N垂直于y軸,如圖所示,同理證明三角形BP2N與三角形AOB全等,得出P2N與BN的長,由P2為第三象限的點,寫出P2的坐標(biāo),代入拋物線解析式中檢驗滿足;(iii)當(dāng)B為直角頂點,過B作BP3垂直于BA,且BP3=BA,如圖所示,過P3作P3H垂直于y軸,同理可證明三角形P3BH全等于三角形AOB,可得出P3H與BH的長,由P3為第四象限的點,寫出P3的坐標(biāo),代入拋物線解析式檢驗,不滿足,綜上,得到所有滿足題意的P的坐標(biāo).
解答:
解:(1)過C作CD⊥x軸,垂足為D,
∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,
又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,
∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,-2),
∴OA=CD=1,OB=AD=2,
∴OD=OA+AD=3,又C為第四象限的點,
∴C的坐標(biāo)為(3,-1);

(2)①∵拋物線y=-
1
2
x2+ax+2經(jīng)過點C,且C(3,-1),
∴把C的坐標(biāo)代入得:-1=-
9
2
+3a+2,解得:a=
1
2
,
則拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+
1
2
x+2;
②存在點P,△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形,
(i)若以AB為直角邊,點A為直角頂點,
則延長CA至點P1使得P1A=CA,得到等腰直角三角形ABP1,過點P1作P1M⊥x軸,如圖所示,

∵AP1=CA,∠MAP1=∠CAD,∠P1MA=∠CDA=90°,
∴△AMP1≌△ADC,
∴AM=AD=2,P1M=CD=1,
∴P1(-1,1),經(jīng)檢驗點P1在拋物線y=-
1
2
x2+
1
2
x+2上;
(ii)若以AB為直角邊,點B為直角頂點,則過點B作BP2⊥BA,且使得BP2=AB,
得到等腰直角三角形ABP2,過點P2作P2N⊥y軸,如圖,

同理可證△BP2N≌△ABO,
∴NP2=OB=2,BN=OA=1,
∴P2(-2,-1),經(jīng)檢驗P2(-2,-1)也在拋物線y=-
1
2
x2+
1
2
x+2上;
(iii)若以AB為直角邊,點B為直角頂點,則過點B作BP3⊥BA,且使得BP3=AB,
得到等腰直角三角形ABP3,過點P3作P3H⊥y軸,如圖,

同理可證△BP3H≌△BAO,
∴HP3=OB=2,BH=OA=1,
∴P3(2,-3),經(jīng)檢驗P3(2,-3)不在拋物線y=-
1
2
x2+
1
2
x+2上;
則符合條件的點有P1(-1,1),P2(-2,-1)兩點.
點評:此題屬于二次函數(shù)的綜合題,涉及的知識有:全等三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識.此題綜合性強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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50°
50°

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6
6
m.

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到康平社區(qū)供水點的路程(千米) 運(yùn)費(fèi)(元/噸•千米)
甲廠 20 4
乙廠 14 5
(1)若某天調(diào)運(yùn)水的總運(yùn)費(fèi)為4450元,則從甲、乙兩水廠各調(diào)運(yùn)了多少噸飲用水?
(2)設(shè)從甲廠調(diào)運(yùn)飲用水x噸,總運(yùn)費(fèi)為W元,試寫出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并確定x的取值范圍.怎樣安排調(diào)運(yùn)方案才能使每天的總運(yùn)費(fèi)最?

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,點C從原點出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個單位長度向右平移,點D隨著點C同時同速同方向運(yùn)動,過點D作x軸的垂線交線段AB于點E、交OA于點G,連結(jié)CE交OA于點F. 設(shè)運(yùn)動時間為t,當(dāng)E點到達(dá)A點時,停止所有運(yùn)動.
(1)求線段CE的長;
(2)記S為Rt△CDE與△ABO的重疊部分面積,試寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍;
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