Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C，D兩點(diǎn)，坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OC，OD（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；

（2）雙曲線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使得△POC和△POD的面積相等？若存在，給出證明并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= ，m=1；（2）P（2，2）或P（﹣2，﹣2），理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）把C（1，4）代入y=求出k=4，把（4，m）代入y=求出m即可，把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出解析式，求得出一次函數(shù)的解析式；（2）雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得S△POC=S△POD，這個(gè)點(diǎn)就是∠COD的平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的y=交點(diǎn)，易證△POC≌△POD，則S△POC=S△POD．

（1）把C（1，4）代入y=，得k=4，

把（4，m）代入y= ，得m=1；

∴反比例函數(shù)的解析式為y= ，m=1；

把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出，

解得，

∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+5；

（2）雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P（2，2），使得S△POC=S△POD，理由如下：

∵C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），

∴OD=OC=，

∴當(dāng)點(diǎn)P在∠COD的平分線(xiàn)上時(shí)，∠COP=∠POD，又OP=OP，

∴△POC≌△POD，∴S△POC=S△POD．

∵C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），

可得∠COB=∠DOA，

又∵這個(gè)點(diǎn)是∠COD的平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的y=交點(diǎn)，

∴∠BOP=∠POA，

∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)坐標(biāo)相等，

即xy=4，x2=4，∴x=±2，

∵x＞0，

∴x=2，y=2，

故P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），使得△POC和△POD的面積相等．

利用點(diǎn)CD關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．