Question

12．如圖，AB為⊙O的直徑，點D為⊙O上的一點，在BD的延長線上取點C，使DC=BD，AC與⊙O交于點E，DF⊥AC于點F．求證：
（1）DF是⊙O的切線；
（2）DB²=CF•AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DF⊥OD，根據(jù)切線的判定定理證明即可；
（2）證明△CDF∽△CAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理證明即可．

解答 證明（1）如圖1，連接OD，
∵OA=OB，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；
（2）如圖2，連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD=DC，
∴AB=AC，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠ADC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{AC}{CD}$，即：CD²=CF•AC．
又∵BD=CD，AB=AC，
∴DB²=CF•AB．

點評 本題考查的是切線的判定定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)定理，靈活運用相關(guān)的定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．