Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)D重合，AF=a，
（1）判斷四邊形BCEF的面積是否存在最大或者最小值？若存在，求出來(lái)；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的條件下，若將“E是CD的中點(diǎn)”改為“CE=k•DE”，其中k為正整數(shù)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出tan∠AFB的值（用k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于S_{四邊形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF，用含a的代數(shù)式表示S_{四邊形BCEF}=12-a，而0≤a＜4，即S_{四邊形BCEF}存在最大值12，S_{四邊形BCEF}不存在最小值；
（2）延長(zhǎng)BC，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，構(gòu)造等腰三角形PEB，利用正方形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)求得PB的長(zhǎng)后，由勾股定理求得a的值．則可求出AB，AF的值．再用tan∠AFB=；求得tan∠AFB的值；
（3）用（2）的方法求得tan∠AFB的值．
解答：解：（1）如圖，連接BE，
S_{四邊形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF=4²-×4×a-×2×（4-a）=12-a，
∵F為AD邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)D重合，
∴0≤a＜4，
∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，a=0，S_{四邊形BCEF}存在最大值12．
S_{四邊形BCEF}不存在最小值．

（2）如圖，延長(zhǎng)BC，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴==1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF==．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴=2²+（4-a）²整理，得3a²-16a+16=0，
解得，a₁=，a₂=4；
∵F點(diǎn)不與D點(diǎn)重合，
∴a=4不成立，a=，tan∠AFB==3．

（3）延長(zhǎng)BC，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP．
∵CE=k•DE，
∴==，PF=（k+1）EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=（4-a）k，PB=PF=4+（4-a）k．
EF==．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴（）²=（）²+（4-a）²整理，
×=（4-a）²，
（k+1）²=，
解得a=，
∴tan∠AFB==2k+1（k為正數(shù)）．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了正方形的性質(zhì)，中點(diǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理求解．