Question

16．在數(shù)學(xué)課上，老師要求學(xué)生探究如下問(wèn)題：
（1）如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=$\sqrt{3}$，PC=1，試求∠BPC的度數(shù)．李華同學(xué)一時(shí)沒(méi)有思路，當(dāng)他認(rèn)真分析題目信息后，發(fā)現(xiàn)以PA、PB、PC的長(zhǎng)為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形，他突然有了正確的思路：如圖2，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，易得△P′PB是等邊三角形，△PP′A是直角三角形．則∠BPC=150°．
（2）如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=$\sqrt{5}$，BP=$\sqrt{2}$，PC=1，試求∠BPC的度數(shù)．
（3）如圖4，在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2$\sqrt{13}$，PB=4，PC=2．
①∠BPC=120°；
②求正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）將△PBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△P′BA，連接PP′，就可以求得∠AP′P=90°，求出∠BP′A的度數(shù)，從而可以求出結(jié)論；
（2）仿照（1）中的思路，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△BP′A，然后連結(jié)PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合勾股定理的逆定理可得△AP′P是直角三角形，可得從而得出結(jié)論；
（3）①仿照（1）中的思路，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，然后連結(jié)PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，從而得出△BPP′為等腰三角形，由∠ABC=120°，就有可以求得PP′的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理就可以求出∠AP′P=90°從而得出結(jié)論；
②延長(zhǎng)A P′作BG⊥AP′于點(diǎn)G，在Rt△P′BG中，就可以得出P′G，BG的長(zhǎng)，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如答題圖1，

∵將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′
∴BP′=BP，∠PBP′=60°，
∴△P′PB是等邊三角形，
∵PA=2，PB=PP′=$\sqrt{3}$，PC=AP′=1，
∴P′A²+P′P²=AP²，
∴△PP′A是直角三角形，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′P+∠BP′P=150°；
故答案為：150°；

（2）如答題圖2，

將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，
則BP′=BP，∠PBP′=90°，
故PP′=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，∠BP′P=∠BPP′=45°，
∵PA=$\sqrt{5}$，P′P=2，PC=AP′=1，
∴P′P²+P′A²=PA²，
∴△AP′P是直角三角形，
∴∠AP′B=∠BPC=45°+90°=135°；

（3）①如答題圖3，

將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△BP′A，連接PP′，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PP′，
∵BP=BP′=4，∠PBP′=120°，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
∴BN=2，PN=P′N=2$\sqrt{3}$，
∴PP′=4$\sqrt{3}$，
∵PA=2$\sqrt{13}$，PC=2，則AP′=2，
∴AP²=P′A²+P′P²，
∴△AP′P是直角三角形，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′P+∠PP′B=120°；
故答案為：120°；

②如答題圖4，

延長(zhǎng)A P′作BG⊥AP′于點(diǎn)G，
在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，
∴P′G=2，BG=2$\sqrt{3}$，
∴AG=P′G+P′A=2+2=4，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB=2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形的綜合以及旋轉(zhuǎn)在正多邊形中的運(yùn)用、全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、勾股定理的逆定理的運(yùn)用、等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解答是關(guān)鍵．