Question

AB是圓O的直徑，AC是圓O的切線，BC與圓O相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在圓O上，且DE=DA，AE與BC相交于點(diǎn)F，求證：FD=DC．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)圓周角定理以及切線的性質(zhì)定理即可證明∠CAD=∠DAF，然后利用AAS即可證得△ACD≌△AFD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得．

解答：證明：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AC是圓O的切線，AB是圓O的直徑，
∴∠CAB=90°，即∠ACD+∠BAD=90°，
又∵在直角△ABD中，∠BAD+∠B=90°，
∴∠CAD=∠B，
又∵∠B=∠E，
∴∠ACD=∠E，
∵DE=DA，
∴

DE

=

DA

，
∴∠B=∠DAE，
∴∠CAD=∠DAF，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD=∠DAF ∠ADC=∠ADF AD=AD

，
∴△ACD≌△AFD，
∴FD=DC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)定理，和全等三角形的判定定理，在本題中證明∠CAD=∠DAF是關(guān)鍵．