Question

14．如圖，一艘貨船從港口B出發(fā)，沿正北方向航行至港口D，在港口B處時，測得燈塔A處在B處的北偏西37°方向上，航行至C處時，測得A處在C處的西北方向上，航行至D處時，測得A處在C處的南偏西53°方向上，已知A，B之間的距離是100海里，
（1）求貨船與燈塔之間的最短距離及B，C之間的距離．
（2）若有一巡邏艇與貨船從港口B同時出發(fā)，巡邏艇先直線航行到A處，在A處停留10分鐘后，再以相同的速度直線航行至港口D，結(jié)果巡邏艇與貨船同時到達(dá)港口D已知巡邏艇比貨船每小時多航行25海里．求貨船的速度．（參考數(shù)據(jù)：$sin37°≈\frac{3}{5}，tan37°≈\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AO⊥BD，垂足為O．先解Rt△ABO，求出AO=AB•sin37°≈100×$\frac{3}{5}$=60，BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=80．再解Rt△ACO，得到CO=AO=60，那么BC=BO-CO=80-60=20海里；
（2）先解Rt△AOD，求出OD=OA•tan∠OAD≈60×$\frac{3}{4}$=45，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=75，那么BD=BO+OD=80+45=125．再證明△ABD是直角三角形，利用勾股定理求出AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=100．設(shè)貨船的速度為每小時x海里，則巡邏艇的速度為每小時（x+25）海里，等量關(guān)系為：巡邏艇行駛（AB+AD）所用的時間+$\frac{10}{60}$小時=貨船行駛BD所用的時間，依此列出方程求解即可．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AO⊥BD，垂足為O．
在Rt△ABO中，∵AB=100海里，∠ABO=37°，
∴AO=AB•sin37°≈100×$\frac{3}{5}$=60，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=80．
在Rt△ACO中，∵AO=60，∠ACO=45°，
∴CO=AO=60，
∴BC=BO-CO=80-60=20，
答：貨船與燈塔之間的最短距離約為60海里，B、C之間的距離約為20海里；

（2）在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，∠ADO=53°，OA=60，
∴∠OAD=37°，
∴OD=OA•tan∠OAD≈60×$\frac{3}{4}$=45，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=75，
∴BD=BO+OD=80+45=125．
在△ABD中，∵∠ABD=37°，∠ADB=53°，
∴∠BAD=180°-（∠ABD+∠ADB）=90°，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=100．
設(shè)貨船的速度為每小時x海里，則巡邏艇的速度為每小時（x+25）海里，
根據(jù)題意得$\frac{100+75}{x+25}$+$\frac{10}{60}$=$\frac{125}{x}$，
整理得x²+325x-18750=0，
解得x₁=50，x₂=-375（不合題意舍去）．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是原方程的解，也符合題意．
答：貨船的速度為每小時50海里．

點(diǎn)評 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理，路程、時間與速度之間的關(guān)系的應(yīng)用．作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．