Question

如圖1，點(diǎn)A是△ABC和△ADE的公共頂點(diǎn)，∠BAC+∠DAE=180°，AB=k•AE，AC=k•AD，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，直線AM交直線BC于點(diǎn)N．
（1）探究∠ANB與∠BAE的關(guān)系，并加以證明．
說(shuō)明：如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索沒(méi)解決問(wèn)題，可以從下面①②中選取一個(gè)作為已知條件，再完成你的證明，選取①比選原題少得2分，選�、诒冗x原題少得5分．
①如圖2，k=1；②如圖3，AB=AC．
（2）若△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中（1）的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果沒(méi)有發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)可以推廣的命題；如果有變化，請(qǐng)畫(huà)出變化后的一個(gè)圖形，并直接寫(xiě)出變化后∠ANB與∠BAE的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件構(gòu)建平行四邊形ADFE：延長(zhǎng)AN到F，使MF=AM，連接DF、EF，由平行四邊形的性質(zhì)推出∠DAE+∠AEF=180°，再加上已知條件∠BAC+∠DAE=180°，不難知道∠BAC=∠AEF；而后根據(jù)已知線段間的比例關(guān)系，證明△ABC∽△EAF；最后利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明即可；
（2）選�、贂r(shí)，解題原理同（2）；選�、跁r(shí)，先構(gòu)建兩個(gè)相似三角形△ABC與△AEF：如圖，延長(zhǎng)DA到F，使AF=AD，連接EF；然后證明兩個(gè)三角形相似；最后由中位線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明結(jié)論；

解答：解：（1）∠ANB+∠BAE=180°．（1分）
證明：（法一）如圖，延長(zhǎng)AN到F，使MF=AM，連接DF、EF．（2分）
∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，∴DM=ME，∴四邊形ADFE是平行四邊形，（3分）
∴AD∥EF，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=∠AEF，（4分）
∵AB=kAE，AC=kAD，
∴

AB

AE

=

AC

AD

，∴

AB

AE

=

AC

EF

，（6分）
∴△ABC∽△EAF∴∠B=∠EAF，（8分）
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°，
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°；（10分）
（法二）如圖，延長(zhǎng)DA到F，使AF=AD，連接EF．（2分）
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，
∴∠BAC=∠EAF，（3分）∵AB=kAE，AC=kAD，
∴

AB

AE

=

AC

AD

，∴

AB

AE

=

AC

AF

，（4分）
∴△ABC∽△AEF，（5分）
∴∠B=∠AEF，（6分）
∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，∴DM=ME，
又∵AF=AD，∴AM是△DEF的中位線，
∴AM∥EF，（7分）
∴∠NAE=∠AEF，
∴∠B=∠NAE，（8分）
∵∠ANB+∠B+∠BAN=180°，
∴∠ANB+∠NAE+∠BAN=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°．（10分）

（2）不變化．如圖（僅供參考），∠ANB+∠BAE=180°．（12分）
選�。á。�，如圖．
證明：延長(zhǎng)AM到F，使MF=AM，連接DF、EF．
∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，
∴DM=ME，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，（4分）
∴AD∥FE，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAC=∠AEF，（6分）
∵AB=kAE，AC=kAD，k=1，∴AB=AE，AC=AD，
∴AC=EF，（7分）∴△ABC≌△EAF，∴∠B=∠EAF，（8分）
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°，∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°．（10分）
選取（ⅱ），如圖．
證明：∵AB=AC，∴∠B=

1

2

（180°-∠BAC），（3分）
∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠DAE=180°-∠BAC，
∴∠B=

1

2

∠DAE，∵AB=kAE，AC=kAD，
∴AE=AD，∵AM是△ADE的中線，AB=AC，
∴∠EAM=

1

2

∠DAE，∴∠B=∠EAM，（4分）
∵∠ANB+∠B+∠BAM=180°，∴∠ANB+∠EAM+∠BAM=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理．