Question

如圖，拋物線y=ax²+

3

2

x+c與x軸交于點A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點C，連接AC，點M是線段OA上的一個動點（不與點O、A重合），過點M作MN∥AC，交OC于點N，將△OMN沿直線MN折疊，點O的對應(yīng)點O′落在第一象限內(nèi)，設(shè)OM=t，△O′MN與梯形AMNC重合部分面積為S．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)點O′落在AC上時，請直接寫出此時t的值；
②求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在點M運動的過程中，請直接寫出以O(shè)、B、C、O′為頂點的四邊形分別是等腰梯形和平行四邊形時所對應(yīng)的t值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,平行線的判定,勾股定理的應(yīng)用,等腰梯形的判定

專題：壓軸題

分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得解析式．
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)求得∠AO′M=∠O′AM，從而求得OM=AM=

1

2

OA，進(jìn)而求得t的值；②根據(jù)平行線分線段成比例定理求得ON=

1

2

OM=

1

2

t，即可求得三角形的面積S；
（3）根據(jù)直線BC的斜率即可求得直線OO′的解析式y(tǒng)=2x，設(shè)O′（m，2m），根據(jù)O′N=

1

2

t先求得m與t的關(guān)系式，然后根據(jù)O′C=OB即可求得．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+

3

2

x+c與x軸交于點A（4，0）、B（-1，0），
∴

0=16a+6+c 0=a- 3 2 +c

，
解得

a=- 1 2 c=2

，
∴拋物線的解析式：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）①如圖1，∵M(jìn)N∥AC，
∴∠OMN=∠O′AM，∠O′MN=AO′M
∵∠OMN=∠O′MN，
∴∠AO′M=∠O′AM，
∴O′M=AM，
∵OM=O′M，
∴OM=AM=t，
∴t=

1

2

OA=

1

2

×4=2；
②由拋物線的解析式：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2可知C（0，2）
∵A（4，0）、C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵M(jìn)N∥AC，
∴ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，
∴ON=

1

2

OM=

1

2

t，
∴當(dāng)0＜t≤2時，S=

1

2

ON•OM=

1

2

×

1

2

t×t=

1

4

t²．
當(dāng)2＜t≤4時，S=

1

2

×

1

2

t×t-

1

2

[t-（4-t）][

1

2

t-（2-

1

2

t）]=

1

4

t²-（t-2）²=-

3

4

t²+4t-4；
∴S=

1 4 t2   (0＜t≤2) - 3 4 t2+4t-4   (2＜t≤4)

；

（3）如圖2，∵B（-1，0），C（0，2），
∴直線BC的斜率為2，
∵OO′∥BC，
∴直線OO′的解析式為y=2x，
設(shè)O′（m，2m），
∵O′N=ON=

1

2

t，
∴O′N²=m²+（2m-

1

2

t）²=（

1

2

t）²，
∴t=

5

2

m，
∴O′C²=m²+（2-2m）²，
∵OB=O′C，
∴m²+（2-2m）²=（-1）²，
解得m₁=1，m₂=

3

5

，
∴O′（1，2）或（

3

5

，

6

5

），
∵C（0，2），
∴當(dāng)O′（1，2）時，以O(shè)、B、C、O′為頂點的四邊形是平行四邊形，此時t=

5

2

，
當(dāng)O′（

3

5

，

6

5

）時，以O(shè)、B、C、O′為頂點的四邊形是梯形，此時t=

3

2

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)于軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，梯形的判定等．