Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝16．連接AC，點P在線段AC上，PA＝AC，作射線PM與邊AB相交于點E．將射線PM繞點P逆時針旋轉90°得到射線PN，射線PN與邊BC相交于點F．當△AEP的面積為時．在邊CD上取一點G．則△AFG周長的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作點Ｆ關于點C的對稱點H，連接AH，GH，過點P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．利用三角形的面積公式求出AE，再利用相似三角形的性質求出KF，利用勾股定理求出AF，AH，GH+AG+GF的最小值即可解決問題．

解：如圖，作點F關于點C的對稱點H，連接AH，GH，過點P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．

∵四邊形ABCD是正方形，AB＝16，

∴AC＝AB＝16，

∵PA＝AC，

∴PA＝4，

∵PJ⊥AJ，∠PAJ＝45°，

∴PJ＝AJ＝4，BJ＝16﹣4＝12，

∵PK⊥BC，

∴∠B＝∠PJB＝∠PKB＝90°，

∴四邊形PJBK是矩形，

∴PK＝BJ＝12，

∵S△PAE＝＝AEPJ，

∴AE＝，EJ＝4﹣＝，

∵∠JPK＝∠MPN＝90°，

∴∠JPE＝∠FPK，

∵∠PJE＝∠PKF＝90°，

∴△PJE∽△PKF，

∴，

∴，

∴FK＝，CF＝12+＝，BF＝，

∴BH＝＝，

∴AF＝＝＝，AH＝＝＝，

∵GF＝GH，

∴AG+FG＝AG+GH，

∵AG+GH≥AH，

∴AG+GH≥，

∴GA+FG的最小值為，

∴△AFG的周長的最小值為+．

故答案為：．