Question

（1）如圖1，AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，連結(jié)OC，若AB=10，CD=8，求AE的長(zhǎng)．
（2）如圖2，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）∵AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E．
∴CE=CD=4．
在直角△OCE中，OE===3．
則AE=OA-OE=5-3=2；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP=∠COP，
∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，
又∵PC=4，
∴PE=PC=×4=2，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，
∴PD=PE=2．
分析：（1）根據(jù)垂徑定理可以得到CE的長(zhǎng)，在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理即可求得．
（2）先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂經(jīng)定理和30°角的直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是垂經(jīng)定理、勾股定理、直角三角形中0°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造出含30°的直角三角形．