Question

5．在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），線段AP的垂直平分線與AB，AP，BD，AD分別交于點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N．
（Ⅰ）若AB=9，BP=3，求線段MN的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）求證：ME+NF=EF．

Answer 1

分析 （1）過(guò)N作NG⊥AB于G，通過(guò)證明△ABP≌△NGM，得到MN=AP，由勾股定理AP的長(zhǎng)度，即可得到結(jié)果．
（2）過(guò)P作PH∥AB交MN于H，過(guò)F作ST∥AB交BC于S，交AD與T，連接AF，PF，通過(guò)△AME≌△PHE，得到ME=HE，再由矩形的性質(zhì)和三角形全等得到BS=AT，F(xiàn)S=AT，由R_t△FPS≌R_t△ATF，得到PS=TF，可得PS=TD，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可證明．

解答 （1）解：如圖1，過(guò)N作NG⊥AB于G，
∴四邊形AGND是矩形，
∴NG=AD，
∴AB=AD=GN，
∵AP⊥MN，
∴∠AEM=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABP與△NGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AB=NG}\\{∠ABP=∠NGM}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△NGM，
∴MN=AP，
在R_t△ABP中，AB=9，BP=3，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴MN=3$\sqrt{10}$．
（2）證明：如圖2，過(guò)P作PH∥AB交MN于H，過(guò)F作ST∥AB交BC于S，交AD與T，連接AF，PF，
∵M(jìn)N垂直平分AP，
∴AE=PE，AF=PF，
∵PH∥AB，
∴∠MAE=∠HPE，
在△AME與△PHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠HPE}\\{AE=PE}\\{∠AEM=∠PEH}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△PHE，
∴ME=HE，
∵∠TDF=∠FBP=45°，
∴TD=TF，F(xiàn)S=BS，
∵四邊形ABST是矩形，
∴BS=AT，
∴FS=AT，
在R_t△FPS與R_t△ATF中
$\left\{\begin{array}{l}{AT=FS}\\{AF=PF}\end{array}\right.$，
∴R_t△FPS≌R_t△ATF，
∴PS=TF，
∴PS=TD，
∵四邊形TSCD是矩形，
∴TD=SC，
∴PS=SC，
∵PH∥TS∥CD，
∴HF=FN，
∴ME+NF=EF．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題關(guān)鍵，屬于中考常考題型．