Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=60°，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E．BD與CE相交于H，在BD上取一點(diǎn)M，使BM=CH．
（1）求證：∠BOC=∠BHC； 
（2）若OH=1，求MH的長．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理、四邊形內(nèi)角和是360°即可求得∠BOC=2∠BAC=120°，∠DHE=120°；
（2）利用全等三角形△BOM≌△COH的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等可以推知OM=OH、∠COH=∠BOM，由等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理可以求得∠OHM=

1

2

（180°-120°）=30°；然后通過作輔助線OP構(gòu)建直角△OHP，利用勾股定理即可求得OH與MH間的數(shù)量關(guān)系．

解答：（1）證明：∵∠BAC=60°（已知），
∴∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半）；
又∵∠BHC=∠DHE（對(duì)頂角相等），
∠DHE=360°-（90°+90°+∠BAC）=120°（四邊形的內(nèi)角和定理），
∴∠BOC=∠BHC；

 （2）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∠BOC=120°，
∴∠OBC=

1

2

（180°-120°）=30°，而∠HBC=90°-∠BCA，
∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-（90°-∠BCA）=∠BCA-60°，
又∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-

1

2

（180°-120°）=∠HCB-30°，但∠HCA=90°-∠BAC=90°-60°=30°
∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°
∴∠OBM=∠OCH；    
∵已知BM=CH，OB=OC，
∴△BOM≌△COH．
∴OH=OM，且∠COH=∠BOM；
∴∠OHM=∠OMH，∠MOH=∠BOC=120°
∠OHM=

1

2

（180°-120°）=30°．
 在△OMH中作OP⊥MH，P為垂足，則
OP=

1

2

OH，由勾股定理，得 
（

1

2

MH）²=OH²-OP²=OH²-（

1

2

OH ）²=

3

4

，
∴MH=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．注意：全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理以及四邊形內(nèi)角定理的綜合運(yùn)用．