Question

【題目】類比思想就是根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，類比探究新知識的思想方法．我們在探究矩形、菱形、正方形等問題中的數(shù)量關(guān)系時，經(jīng)常用到類比思想．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，研究三角形和正方形的性質(zhì)時，做了如下探究：在中，點為直線上一動點(點不與重合)，以為邊在右側(cè)作正方形連接．

（1）（觀察猜想）如圖①，當(dāng)點在線段上時；

①與的位置關(guān)系為： ；

②之間的數(shù)量關(guān)系為： ；(將結(jié)論直接寫在橫線上)

（2）（數(shù)學(xué)思考）如圖②，當(dāng)點在線段的延長線上時，結(jié)論①②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明；

（3）（拓展延伸）如圖③，當(dāng)點在線段的延長線上時，延長交于點，連接．若已知請直接寫出的長．(提示： ．過作于過作于于)

Answer 1

【答案】（1）①垂直；；（2）結(jié)論①成立；結(jié)論②不成立，正確結(jié)論為：．理由見解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；由正方形的性質(zhì)可推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論．

（3）過作于，過作于，于，如圖3所示，由，推出，，推出，，由是等腰直角三角形，推出，推出，再由勾股定理即可解決問題．

解：（1）①在正方形中，，

，

，

在與中，，

，

，

，

即；

故答案為：；

②由①知，，

，

，

；

故答案為：；

（2）成立；不成立，新結(jié)論為：．理由如下：

在正方形中，，

，

，

在與中，，

，

，

，，

．

，

，

．

，，

．

（3）解：如圖3，過作于，過作于，于，

，，

，

，

，

，

，

，

在正方形中，，

，

，

在與中，，

，

，

，

即，

，，

四邊形是矩形，

，，

，

，

，

，

，

，

，，

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

在中，．