Question

如圖：將矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形EBGF，使A、B、G三點在同一直線上，連接DF．
（1）若點M是線段DF的中點，連接EM并延長交DC于點H，試說明EM=MH；
（2）若AB=2，AD=1．
①求線段DF長；
②在直線AG上確定點P，使△PDF是等腰三角形，請直接寫出線段BP的長．

Answer 1

解：（1）∵矩形EBGF是矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴EF∥DC，
∴∠EFM=∠HDM，
∵點M是線段DF的中點，
∴DM=FM，
在△EFM和△HDM中，
∵，
∴△EFM≌△HDM（ASA），
∴EM=MH；

（2）①如圖，延長DC交FG于N，
則CN=EF=AD=1，
所以，F(xiàn)N=2-1=1，
DN=2+1=3，
在Rt△DNF中，DF===；

②由矩形的性質(zhì)可得，點P與點B、G重合時，△PDF是等腰三角形，
此時BP₁=0，BP₂=1，
以點F為頂角頂點時，根據(jù)勾股定理，PG===，
點P在點B左邊時，BP₃=PG-BG=-1，
點P在點B右邊時，BP₄=PG+BG=+1，
綜上所述，線段BP的長為0或1或-1或+1．
分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EFM=∠HDM，然后利用“角邊角”證明△EFM和△HDM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EM=MH；
（2）①延長DC交FG于N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小求出CN，然后求出FN、DN，再利用勾股定理列式進行計算即可得解；
②根據(jù)矩形的對角線相等可得點P與點B、G重合時，△PDF是等腰三角形；再以點F為頂角頂點時，利用勾股定理列式求出PG的長，然后分點P在點B的左邊與右邊兩種情況解答．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不是很大，△PDF是等腰三角形要根據(jù)腰長的不同進行分情況討論求解．