(2009•漳州)幾何模型:
條件:如下圖,A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).

問題:在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.
方法:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則PA+PB=A′B的值最小(不必證明).
模型應(yīng)用:
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD,由正方形對(duì)稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動(dòng)點(diǎn),求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),求△PQR周長(zhǎng)的最小值.
【答案】分析:(1)由題意易得PB+PE=PD+PE=DE,在△ADE中,根據(jù)勾股定理求得即可;
(2)作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′C,交OB于P,求A′C的長(zhǎng),即是PA+PC的最小值;
(3)作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)M,關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,它分別與OA,OB的交點(diǎn)Q、R,這時(shí)三角形PEF的周長(zhǎng)=MN,只要求MN的長(zhǎng)就行了.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC垂直平分BD,
∴PB=PD,
由題意易得:PB+PE=PD+PE=DE,
在△ADE中,根據(jù)勾股定理得,DE=;

(2)作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′C,交OB于P,
PA+PC的最小值即為A′C的長(zhǎng),
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D,則∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=
;

(3)分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R,連接PR、PQ,此時(shí)△PQR周長(zhǎng)的最小值等于MN.
由軸對(duì)稱性質(zhì)可得,OM=ON=OP=10,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB,
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°,
在Rt△MON中,MN===10
即△PQR周長(zhǎng)的最小值等于10
點(diǎn)評(píng):此題綜合性較強(qiáng),主要考查有關(guān)軸對(duì)稱--最短路線的問題,綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí).
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條件:如下圖,A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).

問題:在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最。
方法:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則PA+PB=A′B的值最。ú槐刈C明).
模型應(yīng)用:
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD,由正方形對(duì)稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動(dòng)點(diǎn),求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

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方法:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則PA+PB=A′B的值最。ú槐刈C明).
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(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD,由正方形對(duì)稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動(dòng)點(diǎn),求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

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方法:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則PA+PB=A′B的值最。ú槐刈C明).
模型應(yīng)用:
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD,由正方形對(duì)稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是______;
(2)如圖2,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動(dòng)點(diǎn),求PA+PC的最小值;
(3)如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),求△PQR周長(zhǎng)的最小值.

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