Question

如圖，已知二次函數(shù)y=a（x-h）²-1的圖象與x軸交于A（2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．
（1）求此函數(shù)的解析式；
（2）P（6，2）為平面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)直線y=kx+b交拋物線于M、N，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求直線解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M，使|MC-MB|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，列出關(guān)于a、h的方程組，通過(guò)解方程組求出a、h的值即可得解；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，然后求出∠AMD=∠PAE，從而求出△ADM和△PEA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出

AD

MD

，設(shè)AD=m，表示出MD，從而表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上代入求解即可進(jìn)行判斷；
（3）根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點(diǎn)A、C、M在同一直線上時(shí)|MC-MB|最大，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸上代入計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=a（x-h）²-1的圖象與x軸交于A（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），
∴

a(2-h)2-1=0① a(0-h)2-1=8②

，
①-②得，-4ah+4a+8=0，
解得a=

2

h-1

③，
③代入②并整理得，2h²-9h+9=0，
解得h₁=3，h₂=

3

2

（舍去），
把h=3代入③得，a=1，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x-3）²-1；

（2）不存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形．
理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，
∵以A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，
∴∠MAP=90°，
∴∠DAM+∠PAE=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD=∠PAE，
又∵∠ADM=∠PEA=90°，
∴△ADM∽△PEA，
∴

AD

PE

=

MD

AE

，
∵A（2，0），P（6，2），
∴PE=2，AE=6-2=4，
∴

AD

2

=

MD

4

，
∴

AD

MD

=

1

2

，
設(shè)AD=m，則MD=2m，OA=2-m，
∴點(diǎn)M（2-m，2m），
代入拋物線解析式得，（2-m-3）²-1=2m，
解得m=0，
∴點(diǎn)A、M重合，
故，不存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形；

（3）由三角形的三邊關(guān)系，|MC-MB|＜AC，
∴當(dāng)點(diǎn)A、C、M在同一直線上時(shí)|MC-MB|最大，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
則

b=8 2k+b=0

，
解得

k=-4 b=8

，
∴y=-4x+8，
∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y=-4×3+8=-4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，（1）用h表示出a，再代入得到關(guān)于h的一元二次方程是解題的關(guān)鍵，（2）關(guān)鍵在于利用作輔助線構(gòu)造成相似三角形并表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，（3）難點(diǎn)在于根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)M的位置．