Question

7．如圖，動直線x=m（m＞0）分別交x軸，拋物線y=x²-3x和y=x²-4x于點P，E，F，設點A，B為拋物線y=x²-3x，y=x²-4x與x軸的一個交點，連結AE，BF．
（1）求點A，B的坐標．
（2）當m＜3時，判斷直線AE與BF的位置關系，并說明理由．
（3）連結BE，當$\frac{AE}{BF}=\frac{1}{2}$時，求△BEF的面積．

Answer 1

分析 （1）把y=0分別代入y=x²-3x和y=x²-4x中，進而得出A，B點坐標；
（2）利用銳角三角函數關系得出∠PAE=∠PBF，進而得出直線AE與BF的位置關系；
（3）利用AE∥BF，得出△PAE∽△PBF，進而求出m的值，即可得出△BEF的面積．

解答 解：（1）把y=0分別代入y=x²-3x和y=x²-4x中，得
x²-3x=0，
解得：x₁=0，x₂=3，
x²-4x=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（4，0）；

（2）直線AE和BF的位置關系是AE∥BF，
理由如下：
由題意得，點E的坐標為（m，m²-3m），
點F的坐標為（m，m²-4m），
∴tan∠PAE=$\frac{PE}{PA}$=$\frac{3m-{m}^{2}}{3-m}$=m，
∴tan∠PBF=$\frac{PF}{PB}$=$\frac{4m-{m}^{2}}{4-m}$=m，
∴∠PAE=∠PBF，
∴AE∥BF；

（3）如圖1，
∵AE∥BF，
∴△PAE∽△PBF，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{3-m}{4-m}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=2，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF•PB=$\frac{1}{2}×$2×2=2；
如圖2，∵AE∥BF，
∴△PAE∽△PBF，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{m-3}{4-m}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=$\frac{10}{3}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}•$EF•PB=$\frac{1}{2}×$$\frac{10}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{9}$．

點評 此題主要考查了二次函數綜合以及相似三角形的判定與性質、銳角三角函數關系等知識，正確利用數形結合、分類討論得出m的值是解題關鍵．