3.矩形ABCD中,AD=5,AB<4,將矩形ABCD折起來,使A、C兩頂點重合,若折痕EF=$\sqrt{6}$,求AB的長.

分析 如圖所示:設(shè)AB=x,由勾股定理得;AC=$\sqrt{{x}^{2}+25}$.由翻折的性質(zhì)可知OC=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}$,然后依據(jù)AAS證明Rt△AOF≌Rt△CPE,從而可求得OE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,由△ABC∽△EOC可求得x=$\sqrt{5}$.即AB=$\sqrt{5}$.

解答 解:如圖所示:

設(shè)AB=x,由勾股定理得;AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+25}$.
由翻折的性質(zhì)可知OC=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}$,EF⊥AC.
∵AF∥EC,
∴∠AFE=∠FEC,∠FAO=∠ECO.
在Rt△AOF和Rt△CPE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠FEC}\\{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$,
∴Rt△AOF≌Rt△CPE.
∴OE=OF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
∵∠OCE=∠BCA,∠B=∠EOC=90°,
∴△ABC∽△EOC.
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{OE}{OC}$,即$\frac{x}{5}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}}$.
解得:x=$\sqrt{5}$.
∴AB=$\sqrt{5}$.

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵.

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