Question

5．如圖，在正方形ABCD中，E是BC上一點，連接AE，作BF⊥AE，垂足為點H，交CD于點F．作CG∥AE，交BF于點G．
（1）若CG=3，求BH的長；
（2）若BF，GF的長分別是一元二次方程x²-7x+6=0的兩根，求正方形ABCD的面積；
（3）求證：$\frac{B{E}^{2}}{B{C}^{2}}=\frac{EH}{AH}$．

Answer 1

分析 （1）由BF垂直于AE，且CG與AE平行，得到CG垂直于BF，進而得到一對直角相等，再利用同角的余角相等得到一對角相等，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得到一對邊相等，利用AAS得到三角形ABH與三角形BCG全等，利用全等三角形的對應邊相等得到BH=CG，即可求出BH的長；
（2）求出方程的解確定出BF與GF的長，由BF-GF求出BG的長，利用相似三角形對應邊成比例求出CG的長，利用勾股定理求出正方形邊長，即可確定出面積；
（3）由全等三角形對應邊相等得到AH=BG，由三角形BEH與三角形BCG相似，由相似得比例，兩邊平方后等量代換即可得證．

解答 （1）解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABH+∠CBG=90°，
∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥AE，
∴∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABH=∠BCG，
在△ABH和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠BGC=90°}\\{∠ABH=∠BCG}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△BCG（AAS），
∴BH=CG=3；
（2）方程x²-7x+6=0變形得：（x-1）（x-6）=0，
解得：x=1或x=6，
∵BF，GF的長分別是一元二次方程x²-7x+6=0的兩根，且BF＞GF，
∴BF=6，GF=1，
∴BG=BF-GF=6-1=5，
在Rt△BCF中，CG⊥BF，
∴△BCG∽△CFG，
∴CG²=BG•GF=5，
∴根據(jù)勾股定理得：BC²=BG²+GC²=25+5=30，
則正方形的面積為30；
（3）∵HE∥BG，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BH}{BG}$，即$\frac{B{E}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{B{H}^{2}}{B{G}^{2}}$，
∵AH=BG，BH²=AH•HE，
∴$\frac{B{E}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{B{H}^{2}}{B{G}^{2}}$=$\frac{AH•HE}{A{H}^{2}}$=$\frac{HE}{AH}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．