Question

已知：拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，OC=3OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在x軸下方和拋物線對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，過(guò)E作EF∥x軸交拋物線于另一點(diǎn)F，作ED⊥x軸于點(diǎn)D，F(xiàn)G⊥x軸于點(diǎn)G，求四邊形DEFG周長(zhǎng)m的最大值；
（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P，當(dāng)四邊形DEFG周長(zhǎng)m取得最大值時(shí)，以EF為邊的平行四邊形面積是△AEP面積的2倍，另兩頂點(diǎn)鐘有一頂點(diǎn)Q在拋物線上，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由于拋物線的開(kāi)口向上，且與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，
則C點(diǎn)必在y軸的負(fù)半軸上；
∵OC=3OA=3，即C（0，-3），
則有：，
解得；
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）由（1）的拋物線知：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1；
設(shè)E（x，x²-2x-3），
則F（2-x，x²-2x-3）；（-1＜x＜1）
由題意知：四邊形DEFG為矩形，
則其周長(zhǎng)：m=2（2-x-x）+2（-x²+2x+3）=-2x²+10；
∴當(dāng)x=0時(shí)，四邊形AEFG的周長(zhǎng)m最大，且最大值為10．

（3）由（2）知：E（0，-3），F(xiàn)（2，-3），P（1，-4）；
∵A（-1，0）、P（1，-4），
∴直線AP：y=-2x-2；
設(shè)AP與y軸的交點(diǎn)為M，則M（0，-2），ME=1；
∴S_△APE=×1×2=1，
∴S_{平行四邊形}=EF•|y_Q-y_E|=2，
∵EF=2，
∴|y_Q-y_E|=1；
當(dāng)y_Q-y_E=1時(shí)，y_Q=y_E+1=-3+1=-2，代入拋物線的解析式中，
得：x²-2x-3=-2，
解得x=1±；
∴Q₁（1+，-2），Q₂（1-，-2）；
當(dāng)y_Q-y_E=-1時(shí)，y_Q=y_E-1=-3-1=-4，此時(shí)Q、P重合，
即：Q₃（1，-4）；
綜上所述，有3個(gè)符合條件的Q點(diǎn)，它們的坐標(biāo)為：Q₁（1+，-2），Q₂（1-，-2），Q₃（1，-4）．
分析：（1）首先根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向，確定點(diǎn)C的位置，然后根據(jù)OC、OA的比例關(guān)系求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值．
（2）由題意可知：四邊形DEFG為矩形，可設(shè)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸表示出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式表示出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得到矩形的長(zhǎng)和寬的表達(dá)式，由此可求出關(guān)于m和E點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值．
（3）由（2）知，當(dāng)m最大時(shí)，E、C重合，設(shè)直線AP與y軸的交點(diǎn)為M，根據(jù)直線AP的解析式，可求得M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到△AEP和平行四邊形的面積，易求得EF的長(zhǎng)，即可得到Q到直線EF的距離，從而確定Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，即可求得符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及圖形面積的求法，需要注意的是（1）題中，首先要根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向來(lái)判斷C點(diǎn)所處的位置；（3）題中，要考慮到EF上、下方都有可能存在符合條件的Q點(diǎn)，不要漏解．