如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，過C作CE∥AD交AB于E．

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）若點E是AB的中點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

 


（1）∵AB∥CD， CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形．

        ∵CE∥AD，∴∠ACE＝∠CAD．

∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD．∴∠ACE＝∠CAE，∴AE＝CE．

        ∴四邊形AECD是菱形．

（2）（判斷）△ABC是直角三角形．

（3）證法一：∵AE＝CE，AE＝BE，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，  

     ∵∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180º，

∴2∠BCE＋2∠ACE＝180º，∴∠BCE＋∠ACE＝90º，即∠ACB＝90º．

∴△ABC是直角三角形．

證法二：連DE，則DE⊥AC，且DE平分AC．

設DE交AC于F．又∵E是AB的中點，∴EF∥BC，

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形． 

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O，設AC=2a，BD=2b，請推導這個四邊形的性質(zhì)．（至少3條）
（提示：平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對角線、周長、面積等入手．）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E，交BC于點F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求證：PA=PC．
（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四邊形ABCD的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四邊形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD為正方形，E是BC的延長線上的一點，且AC=CE，求∠DAE的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．

（I）求證：AE=EF；
（Ⅱ）若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”，其余條件不變，則結(jié)論AE=EF還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

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