Question

7．在Rt△ABC中，AB=AC，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點O放在斜邊AC的中點上，將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點，連接EF，猜想線段AE、CF與EF之間存在的等量關系（無需證明）
（2）如圖2，三角板的兩直角邊分別交AB，BC延長線于E、F兩點，連接EF，判斷①中的結(jié)論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OB，證△OEB≌△OFC，推出BE=CF，由勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）連接OB，求出OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，證△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF²+BE²=EF²，即可得出答案；

解答 解：（1）猜想：AE²+CF²=EF²，
連接OB，如圖1，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O點為AC的中點，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．
∴∠EOB=∠FOC，
在△OEB和△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠EBO=∠OCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²；
（2）成立．理由如下：
連接OB．如圖2，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O點為AC的中點，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC．
在△OEB和△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠EBO=∠OCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²．

點評 本題主要考查了幾何變換綜合題，涉及到的知識點是等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，解答本題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)定理，此題有一定的難度．