Question

如圖，D為∠BAC的外角平分線上一點(diǎn)并且滿足BD=CD，∠DBC=∠DCB，過(guò)D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于F，則下列結(jié)論：
①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．
其中正確的結(jié)論有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=AF，利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DBF=∠DCE，然后求出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BDC=∠BAC；∠DAE=∠CBD，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DAE=∠DAF，然后求出∠DAF=∠CBD．

解答：解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正確；
∴CE=AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正確；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF=∠DCE，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BDC=∠BAC，故③正確；
∠DAE=∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠DAF=∠CBD，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④共4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于需要二次證明三角形全等．