Question

12．已知△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，點(diǎn)B在AB上，連接BD、EC，點(diǎn)M、N分別為BD、EC的中點(diǎn)

（1）當(dāng)點(diǎn)E在AB上，且點(diǎn)C和點(diǎn)D重合時(shí)，如圖（1）所示，則MN：EC=1：2；MN與EC的位置關(guān)系是（填“垂直”或“不垂直”）
（2）當(dāng)點(diǎn)E、D分別在AB、AC上，且點(diǎn)C與點(diǎn)D不重合時(shí)，如圖（2）．則（1）中MN與EC的位置關(guān)系還成立嗎？請說明理由．
（3）在（2）的條件下，將Rt△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在AB上，如圖（3），則MN與EC的位置關(guān)系還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線，可得答案；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得EM=$\frac{1}{2}$BD，CM=$\frac{1}{2}$BD，根據(jù)等腰三角形的三線合一，可得答案；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠EDA=∠DAC=45°，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可得∠DEN=∠GCN，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得DN與GN的關(guān)系，根據(jù)三角形的中位線，可得MN與BG的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ECA與∠GBC的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠GBC與∠BCE的關(guān)系，垂直于平行線中的一條直線也垂直于另一條直線．

解答 解：（1）MN：EC=1：2，MN⊥EC，
故答案為：1：2；垂直；
（2）成立，連接EM、CM．
，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴∠BED=90°．
∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，
∴EM=$\frac{1}{2}$BD，CM=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=CM．
∵N是EC的中點(diǎn)，
∴MN⊥EC；
（3）成立，理由如下：
連接DN并延長交AC于G，連接BG．
，
∵∠EDA=∠DAC=45°，
∴ED∥AC，
∴∠DEN=∠GCN．
∵N是EC的中點(diǎn)，
∴EN=CN．
在△EDN和△CGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠GCN}\\{EN=CN}\\{∠DNE=∠GNC（對頂角相等）}\end{array}\right.$，
∴△EDN≌△CGN（ASA），
∴DN=GN．
∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，
∴MN是△GDB的中位線，
∴MN∥BG．
在△ACE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠EAC=∠GCB}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBG（SAS），
∴∠ECA=∠GBC．
∵∠ECA+∠BCE=90°，
∴∠GBC+∠BCE=90°，
∴BG⊥EC，即MN⊥EC．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定，（1）利用了三角形的中位線定理，（2）利用了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，（3）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，垂線的判定．