Question

12．已知△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，點B在AB上，連接BD、EC，點M、N分別為BD、EC的中點

（1）當點E在AB上，且點C和點D重合時，如圖（1）所示，則MN：EC=1：2；MN與EC的位置關系是（填“垂直”或“不垂直”）
（2）當點E、D分別在AB、AC上，且點C與點D不重合時，如圖（2）．則（1）中MN與EC的位置關系還成立嗎？請說明理由．
（3）在（2）的條件下，將Rt△AED繞點A逆時針旋轉，使點D落在AB上，如圖（3），則MN與EC的位置關系還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的中位線，可得答案；
（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得EM=$\frac{1}{2}$BD，CM=$\frac{1}{2}$BD，根據等腰三角形的三線合一，可得答案；
（3）根據等腰直角三角形的性質，可得∠EDA=∠DAC=45°，根據平行線的判定與性質，可得∠DEN=∠GCN，根據全等三角形的判定與性質，可得DN與GN的關系，根據三角形的中位線，可得MN與BG的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得∠ECA與∠GBC的關系，根據余角的性質，可得∠GBC與∠BCE的關系，垂直于平行線中的一條直線也垂直于另一條直線．

解答 解：（1）MN：EC=1：2，MN⊥EC，
故答案為：1：2；垂直；
（2）成立，連接EM、CM．
，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴∠BED=90°．
∵M是BD的中點，
∴EM=$\frac{1}{2}$BD，CM=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=CM．
∵N是EC的中點，
∴MN⊥EC；
（3）成立，理由如下：
連接DN并延長交AC于G，連接BG．
，
∵∠EDA=∠DAC=45°，
∴ED∥AC，
∴∠DEN=∠GCN．
∵N是EC的中點，
∴EN=CN．
在△EDN和△CGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠GCN}\\{EN=CN}\\{∠DNE=∠GNC（對頂角相等）}\end{array}\right.$，
∴△EDN≌△CGN（ASA），
∴DN=GN．
∵M是BD的中點，
∴MN是△GDB的中位線，
∴MN∥BG．
在△ACE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠EAC=∠GCB}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBG（SAS），
∴∠ECA=∠GBC．
∵∠ECA+∠BCE=90°，
∴∠GBC+∠BCE=90°，
∴BG⊥EC，即MN⊥EC．

點評 本題考查了全等三角形的判定，（1）利用了三角形的中位線定理，（2）利用了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，（3）利用了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，余角的性質，垂線的判定．