Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，0），OB=OC．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿線段CO以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PH⊥OC，交折線C-O-B于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤10），
①若△CPH的面積為S，請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
②以P為圓心，PC長為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線OB相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于A點(diǎn)的縱坐標(biāo)．OC=OB可知A、B在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)C長為半徑的圓上，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①首先根據(jù)已知條件，確定出P點(diǎn)、H點(diǎn)的坐標(biāo)，注意分段討論得出，分別用t表示△CPH的面積進(jìn)而得出答案；
②首先確定B點(diǎn)、P點(diǎn)的坐標(biāo)．再根據(jù)△OBP分別以O(shè)P、OB為底邊的面積求法，列出關(guān)于t的等量關(guān)系式，解t即可．
解答：解：（1）∵AB∥OC，OC=OB，A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，0）
∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，設(shè)橫坐標(biāo)為x，則，
解得；
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，8）；

（2）①如圖2，過點(diǎn)B作BN⊥OC于點(diǎn)N，過點(diǎn)H作HP⊥OC于點(diǎn)P，
∵ON=6，則NC=10-6=4，
∴當(dāng)0＜t≤4時(shí)，
設(shè)PC=t，∵HP∥BN，
∴=，
∴=，
解得：HP=2t，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10-t，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（10-t，2t），
S_△HPC=PC•PH=×t×2t=t²，
當(dāng)t=4時(shí)此時(shí)S_△HPC最大，S=16；
如圖2，當(dāng)4＜t＜10時(shí)，由（1）可知，正比例函數(shù)OB的解析式是y=x，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10-t，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（10-t，），
S_△HPC=PC•PH=×t×（10-t）=（t-5）²+，
當(dāng)t=5時(shí)此時(shí)S_△HPC最大，S=；
故S的最大值為；

②如圖3，連接PB，OB與圓P相切，切點(diǎn)為K，PC=t，
由（1）知B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，8），
OB==10，
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（10-t，0），
對(duì)于△OBP，S_△OBP=OP•OA=OB•PK，即（10-t）×8=10×PK，
∴PK=（10-t），
又∵PK、PC均為⊙P的半徑，
∴PK=PC，即（10-t）=t，
解得t=．
所以，當(dāng)⊙P與直線OB相切時(shí)，t=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系等知識(shí)點(diǎn)，要注意（2）中，分段函數(shù)的應(yīng)用，從而得出S與t的函數(shù)關(guān)系式．